Hệ phương trình tuyến tính tổng quát
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát mắng với dạng $\left\{ \begin{gathered} {a_{11}}{x_1} + {a_{12}}{x_2} + ... + {a_{1n}}{x_1} = {b_1} \hfill \\ {a_{12}}{x_1} + {a_{22}}{x_2} + ... + {a_{2n}}{x_n} = {b_2} \hfill \\ ... \hfill \\ {a_{m1}}{x_1} + {a_{m2}}{x_2} + ... + {a_{mn}}{x_n} = {b_m} \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Với \[A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}} \\ {...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}} \end{array}} \right),X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1}} \\ {{x_2}} \\ {...} \\ {{x_n}} \end{array}} \right),B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}} \\ {{b_2}} \\ {...} \\ {{b_m}} \end{array}} \right),\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{...}&{{a_{1n}}}&{{b_1}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{...}&{{a_{2n}}}&{{b_2}} \\ {...}&{...}&{...}&{...}&{...} \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}&{...}&{{a_{mn}}}&{{b_m}} \end{array}} \right).\]
Ta gọi là hệ phương trình tuyến tính bao gồm $m$ phương trình và $n$ ẩn.
Hệ phương trình vẫn cho tới hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng quái trận $AX=B.$
Đặt $A_j^c = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{1j}}} \\ {{a_{2j}}} \\ {...} \\ {{a_{mj}}} \end{array}} \right),j = 1,2,...,n$ là véctơ cột loại j của quái trận thông số A. Khi bại liệt hệ phương trình
Hệ phương trình vẫn cho tới hoàn toàn có thể được viết lách bên dưới dạng véctơ
${{x}_{1}}A_{1}^{c}+{{x}_{2}}A_{2}^{c}+...+{{x}_{n}}A_{n}^{c}=B.$ Vậy hệ với nghiệm Lúc và chỉ Lúc véctơ $B$ màn biểu diễn tuyến tính qua loa hệ véctơ cột $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}$ của quái trận $A.$ Hệ với từng nào nghiệm thì với từng ấy cơ hội màn biểu diễn tuyến tính véctơ $B$ qua loa hệ véctơ cột của quái trận $A.$
Do từng tấp tểnh thức con cái của $A$ đều là tấp tểnh thức con cái của $\overline{A}$ vì thế $0\le r(A)\le r(\overline{A})\le \min \left\{ m,n+1 \right\}.$
>>Xem thêm Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm hệ phương trình tuyến tính tổng quát mắng với nghiệm
Định lí Kronecker – Capelli
Cho hệ phương trình tuyến tính $n$ ẩn $AX=B.$ Điều khiếu nại cần thiết và đầy đủ nhằm hệ phương trình tuyến tính với nghiệm là $r(A)=r(\overline{A}).$
Chứng minh.
Ta với $r(A)=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\},r(\overline{A})=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}.$
Điều khiếu nại cần: Nếu hệ với nghiệm thì véctơ B được màn biểu diễn tuyến tính qua loa hệ véctơ $\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}.$
Do bại liệt \[r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}\Rightarrow r(\overline{A})=r(A).\]
Điều khiếu nại đủ: Nếu $r(A)=r(\overline{A})\Rightarrow r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c} \right\}=r\left\{ A_{1}^{c},A_{2}^{c},...,A_{n}^{c},B \right\}.$
Ta với điều cần chứng tỏ.
Khảo sát tổng quát mắng hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình tuyến tính với $n$ ẩn, những quái trận thông số và quái trận thông số không ngừng mở rộng theo thứ tự là $A,\overline{A}.$ Khi đó:
- Nếu $r(A)=r(\overline{A})=n$ (số ẩn của hệ) thì hệ với nghiệm duy nhất;
- Nếu $r(A)=r(\overline{A})=r<n$ (nhỏ rộng lớn số ẩn của hệ) thì hệ với vô số nghiệm dựa vào $n-r$ tham ô số;
- Nếu $r(A)<r(\overline{A})$ thì hệ vô nghiệm.
>>Xem thêm Các cách thức tính tấp tểnh thức của quái trận
>> Độc lập tuyến tính và dựa vào tuyến tính
>>Định thức của quái trận và những đặc thù của tấp tểnh thức
>> Chứng minh một quái trận suy trở thành và quái trận khả nghịch
>>Cơ sở của không khí véctơ
>> Đạo hàm cấp cho 1 và đạo hàm cấp cho 2 của hàm số cho tới vày tham ô số
>> Khai triển Taylor và ứng dụng
>> Các dạng toán về hạng của quái trận và cách thức giải
Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_4} = 7 \hfill \\ 2{x_1} + 5{x_2} + {x_3} + 5{x_4} = 16 \hfill \\ 3{x_1} + 7{x_2} + {x_3} + 8{x_4} = 23 \hfill \\ 5{x_1} + 12{x_2} + 2{x_3} + 13{x_4} = m \hfill \\ 6{x_1} + 14{x_2} + 3{x_3} + 16{x_4} = 46 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến thay đổi quái trận thông số banh rộng:
$\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 2&5&1&5&{16} \\ 3&7&1&8&{23} \\ 5&{12}&2&{13}&m \\ 6&{14}&3&{16}&{46} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{gathered} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 5}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \hfill \\ {\mathbf{ - 6}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \hfill \\ \end{gathered} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&2&2&{ - 2}&{m - 35} \\ 0&2&3&{ - 2}&4 \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{5}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&0&3&7 \\ 0&1&1&{ - 1}&2 \\ 0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&{m - 39} \\ 0&0&1&0&0 \end{array}} \right).$
+ Nếu $m-39=0\Leftrightarrow m=39\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2<4$ hệ với vô số nghiệm và hệ Lúc bại liệt tương tự với $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} + 3{x_4} = 7 \hfill \\ {x_2} + {x_3} - {x_4} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = 2{x_3} - 5{x_4} + 3 \hfill \\ {x_2} = - {x_3} + {x_4} + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$ Nghiệm của hệ là $\left( 2{{x}_{3}}-5{{x}_{4}}+3;-{{x}_{3}}+{{x}_{4}}+2;{{x}_{3}};{{x}_{4}} \right),\left( {{x}_{3}},{{x}_{4}}\in \mathbb{R} \right).$
+ Nếu \[m-39\ne 0\Leftrightarrow m\ne 39\Rightarrow r(A)=2<r(\overline{A})=3\] hệ vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} 2{x_1} - 2{x_2} + {x_3} - {x_4} + {x_5} = 1 \hfill \\ {x_1} + 2{x_2} - {x_3} + {x_4} - 2{x_5} = 1 \hfill \\ 4{x_1} - 10{x_2} + 5{x_3} - 5{x_4} + 7{x_5} = 1 \hfill \\ 2{x_1} - 14{x_2} + 7{x_3} - 7{x_4} + 11{x_5} = m \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến thay đổi quái trận thông số banh rộng:
$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 2}&1&{ - 1}&1&1 \\ 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 4&{ - 10}&5&{ - 5}&7&1 \\ 2&{ - 14}&7&{ - 7}&{11}&m \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 2&{ - 2}&1&{ - 1}&1&1 \\ 4&{ - 10}&5&{ - 5}&7&1 \\ 2&{ - 14}&7&{ - 7}&{11}&m \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - 4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 0&{ - 6}&3&{ - 3}&5&{ - 1} \\ 0&{ - 18}&9&{ - 9}&{15}&{ - 3} \\ 0&{ - 18}&9&{ - 9}&{15}&{m - 2} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - 3}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&{ - 1}&1&{ - 2}&1 \\ 0&{ - 6}&3&{ - 3}&5&{ - 1} \\ 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&{m + 1} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
+ Nếu $m+1\ne 0\Leftrightarrow m\ne -1\Rightarrow r(A)=2<r(\overline{A})=3$ hệ vô nghiệm.
+ Nếu \[m+1=0\Leftrightarrow m=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2\] hệ vô số nghiệm và Lúc bại liệt hệ tương tự với $\left\{ \begin{gathered} {x_1} + 2{x_2} - {x_3} + {x_4} - 2{x_5} = 1 \hfill \\ - 6{x_2} + 3{x_3} - 3{x_4} + 5{x_5} = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_1} = \frac{2}{3} - 2{x_4} + \frac{1}{3}{x_5} \hfill \\ {x_2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}{x_3} - \frac{1}{2}{x_4} + \frac{5}{6}{x_5} \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Nghiệm của hệ là $\left( {{x}_{1}}=\frac{2}{3}-2{{x}_{4}}+\frac{1}{3}{{x}_{5}};\frac{1}{6}+\frac{1}{2}{{x}_{3}}-\frac{1}{2}{{x}_{4}}+\frac{5}{6}{{x}_{5}};{{x}_{3}};{{x}_{4}};{{x}_{5}} \right),\left( {{x}_{3}},{{x}_{4}},{{x}_{5}}\in \mathbb{R} \right).$
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} (2 - a){x_1} + {x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + (2 - a){x_2} + {x_3} = 0\\ {x_1} + {x_2} + (2 - a){x_3} = 0 \end{array} \right..$
a) Tìm $a$ nhằm hệ phương trình với nghiệm duy nhất;
b) Tìm $a$ nhằm hệ phương trình với vô số nghiệm dựa vào một tham ô số;
c) Tìm $a$ nhằm hệ phương trình với vô số nghiệm dựa vào nhì thông số.
Biến thay đổi quái trận thông số banh rộng:
$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {2 - a}&1&1&0 \\ 1&{2 - a}&1&0 \\ 1&1&{2 - a}&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 1&{2 - a}&1&0 \\ {2 - a}&1&1&0 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{(a - 2)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&0 \\ 0&{a - 1}&{(1 - a)(a - 3)}&0 \end{array}} \right)\xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{2 - a}&0 \\ 0&{1 - a}&{a - 1}&0 \\ 0&0&{(1 - a)(a - 4)}&0 \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
Xem thêm: Tiếng Anh giao tiếp tại hiệu chụp ảnh [HAY DÙNG] - Step Up English
a) Hệ với nghiệm độc nhất $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - a \ne 0 \hfill \\ (1 - a)(4 - a) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 1 \hfill \\ a \ne 4 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
b) Hệ với vô số nghiệm dựa vào một thông số $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})=2\Leftrightarrow a=4.$
c) Hệ với vô số nghiệm dựa vào nhì thông số $\Leftrightarrow r(A)=r(\overline{A})=1\Leftrightarrow a=1.$
Ví dụ 4: Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} kx + hắn + z = 1\\ x + ky + z = k\\ x + hắn + kz = {k^2} \end{array} \right..$
a) Tìm $k$ nhằm hệ phương trình với nghiệm duy nhất;
b) Tìm $k$ nhằm hệ phương trình vô nghiệm;
c) Tìm $k$ nhằm hệ phương trình vô số nghiệm dựa vào nhì thông số.
Biến thay đổi quái trận thông số banh rộng:
$\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} k&1&1&1 \\ 1&k&1&k \\ 1&1&k&{{k^2}} \end{array}} \right)\xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 1&k&1&k \\ k&1&1&1 \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - k}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 0&{k - 1}&{1 - k}&{k - {k^2}} \\ 0&{1 - k}&{1 - {k^2}}&{1 - {k^3}} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&k&{{k^2}} \\ 0&{k - 1}&{1 - k}&{k - {k^2}} \\ 0&0&{(1 - k)(2 + k)}&{(1 - k){{(k + 1)}^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} $
Hệ với nghiệm độc nhất $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k - 1 \ne 0 \hfill \\ (1 - k)(2 + k) \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k \ne 1 \hfill \\ k \ne - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow r(A)<r(\overline{A})\Leftrightarrow k=-2.$
Hệ vô số nghiệm dựa vào nhì thông số $ \Leftrightarrow r(A) = r(\overline A ) = 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k - 1 = 0 \hfill \\ (1 - k)(2 + k) = 0 \hfill \\ (1 - k){(k + 1)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow k = 1.$
Ví dụ 5: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x + 2y + mz = a \hfill \\ 2x - 7y + \left( {m - 1} \right)z = 1 \hfill \\ - 4x + hắn - mz = b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ theo gót những thông số $a,b$ và $m.$
Giải. Biến thay đổi sơ cấp cho cho tới quái trận thông số banh rộng
$\overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 2&{ - 7}&{m - 1}&1 \\ { - 4}&1&{ - m}&b \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{4}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 0&{ - 11}&{ - m - 1}&{ - 2a + 1} \\ 0&9&{3m}&{4a + b} \end{array}} \right)$
$\xrightarrow{{\dfrac{{\mathbf{9}}}{{{\mathbf{11}}}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&2&m&a \\ 0&{ - 11}&{ - m - 1}&{ - 2a + 1} \\ 0&0&{\dfrac{3}{{11}}\left( {8m - 3} \right)}&{\dfrac{1}{{11}}\left( {26a + 11b + 9} \right)} \end{array}} \right)$
+ Nếu $m\ne \dfrac{3}{8}\Rightarrow r\left( A \right)=r\left( \overline{A} \right)=3$ nên hệ với nghiệm độc nhất xác lập bởi
$x=\dfrac{-6am-9bm-a+2b-3m}{3\left( 8m-3 \right)};y=\dfrac{2am-bm-4a-b-3m}{3\left( 8m-3 \right)};z=\dfrac{36a+11b+9}{3\left( 8m-3 \right)}$
+ Nếu $m=\dfrac{3}{8}$ và $26a+11b+9\ne 0\Rightarrow r\left( A \right)=2<r\left( \overline{A} \right)=3$ nên hệ vô nghiệm.
+ Nếu $m=\dfrac{3}{8}$ và $26a+11b+9=0\Rightarrow r\left( A \right)=r\left( \overline{A} \right)=2<3$ hệ với vô số nghiệm dựa vào một tham ô số
Cụ thể $\left\{ \begin{gathered} x + 2y + \dfrac{3}{8}z = a \hfill \\ - 11y - \dfrac{{11}}{8}z = - 2a + 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} hắn = - \dfrac{5}{{11}}a - \dfrac{3}{{11}} + x \hfill \\ z = \dfrac{{56}}{{11}}a + \dfrac{{16}}{{11}} - 8x \hfill \\ \end{gathered} \right.,x \in \mathbb{R}.$
Ví dụ 6: Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x - hắn + az + t = a \hfill \\ x + ay - z + t = - 1 \hfill \\ ax + ay - z - t = - 1 \hfill \\ x + hắn + z + t = - a \hfill \\ \end{gathered} \right..$
Biến thay đổi quái trận thông số banh rộng:
\[\begin{gathered} \overline A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 1&a&{ - 1}&1&{ - 1} \\ a&a&{ - 1}&{ - 1}&{ - 1} \\ 1&1&1&1&{ - a} \end{array}} \right)\xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}} \\ {\mathbf{ - a}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{1}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&{a + 1}&{ - a - 1}&0&{ - a - 1} \\ 0&{2a}&{ - {a^2} - 1}&{ - a - 1}&{ - {a^2} - 1} \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{doi\_cho\_}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{\& }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&{2a}&{ - {a^2} - 1}&{ - a - 1}&{ - {a^2} - 1} \\ 0&{a + 1}&{ - a - 1}&0&{ - a - 1} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{\begin{subarray}{l} {\mathbf{ - a}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + }}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}} \\ {\mathbf{ - (a + 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{2}}}{\mathbf{ + 2}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}} \end{subarray} }\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&0&{ - a - 1}&{ - a - 1}&{{a^2} - 1} \\ 0&0&{{a^2} - 2a - 3}&0&{2{a^2} - 2} \end{array}} \right) \hfill \\ \xrightarrow{{{\mathbf{(}}{{\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{ - 2a - 3)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{3}}}{\mathbf{ + (a + 1)}}{{\mathbf{d}}_{\mathbf{4}}}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{ - 1}&a&1&a \\ 0&2&{ - a + 1}&0&{ - 2a} \\ 0&0&{ - a - 1}&{ - a - 1}&{{a^2} - 1} \\ 0&0&0&{(3 - a){{(a + 1)}^2}}&{{{({a^2} - 1)}^2}} \end{array}} \right). \hfill \\ \end{gathered} \]
+ Nếu $a=-1\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=2<4$ hệ vô số nghiệm và hệ Lúc bại liệt tương tự với \[\left\{ \begin{gathered} x - hắn + az + t = a \hfill \\ 2y + (1 - a)z = - 2a \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{3a - 1}}{2}z - t \hfill \\ hắn = - a + \frac{{a - 1}}{2}z \hfill \\ \end{gathered} \right..\]
+ Nếu $a=3\Rightarrow r(A)=3<r(\overline{A})=4$ hệ vô nghiệm.
+ Nếu $a\notin \left\{ -1,3 \right\}\Rightarrow r(A)=r(\overline{A})=4$ hệ với nghiệm độc nhất và Lúc bại liệt hệ tương tự với
\[\left\{ \begin{gathered} x - hắn + az + t = a \hfill \\ 2y + (1 - a)z = - 2a \hfill \\ - (a + 1)z - (a + 1)t = {a^2} - 1 \hfill \\ (3 - a){(a + 1)^2}t = {({a^2} - 1)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{2a - 2}}{{3 - a}} \hfill \\ hắn = - \frac{{a + 1}}{{3 - a}} \hfill \\ z = \frac{{2 - 2a}}{{3 - a}} \hfill \\ t = \frac{{{{(a - 1)}^2}}}{{3 - a}} \hfill \\ \end{gathered} \right..\]
Xem thêm: "BE": Định Nghĩa, Cấu Trúc và Cách Dùng trong Tiếng Anh
Bình luận