Nguyên dung lượng giác là kỹ năng và kiến thức vô nằm trong cần thiết nhập công tác toán cung cấp 3. Các công thức vẹn toàn dung lượng giác có tương đối nhiều cường độ, kể từ hàm sơ cung cấp cho tới những công thức hàm phù hợp, Từ đó là thật nhiều dạng bài bác tập dượt không giống nhau. Marathon Education tiếp tục tổ hợp những công thức lượng giác cơ bạn dạng, công thức nguyên dung lượng giác và những dạng bài bác tập dượt áp dụng tương quan qua quýt nội dung bài viết sau.
>>> Xem thêm: Toán 12 Nguyên Hàm – Lý Thuyết Và Một Số Bài Tập Ví Dụ
Bạn đang xem: Nguyên Hàm Của Hàm Số Lượng Giác
Các công thức lượng giác cần thiết nhớ
\begin{aligned}
&\small\text{1. Hằng đẳng thức lượng giác:}\\
& \ \ \ \ \bull sin^2x+cos^2x=1\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{sin^2x}=1+cot^2x\\
& \ \ \ \ \bull \frac{1}{cos^2x}=1+tan^2x\\
&\small\text{2. Công thức cộng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin(a\pm b)=sina.cosb\pm sinb.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos(a\pm b)=cosa.cosb\mp sina.cosb\\
& \ \ \ \ \ \bull tan(a\pm b)=\frac{tana \pm tanb}{1\mp tana.tanb}\\
&\small\text{3. Công thức nhân đôi:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin2a=2sina.cosa\\
& \ \ \ \ \ \bull cos2a=cos^2a-sin^2a=2cos^2a-1=1-2sin^2a\\
&\small\text{4. Công thức nhân ba:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin3a=3sina-4sin^3a\\
& \ \ \ \ \ \bull cos3a=4cos^3a-3cosa\\
&\small\text{5. Công thức hạ bậc:}\\
& \ \ \ \ \ \bull sin^2a=\frac{1-cos2a}{2}\\
& \ \ \ \ \ \bull cos^2a=\frac{1+cos2a}{2}\\
&\small\text{6.Công thức biến hóa tích trở nên tổng:}\\
& \ \ \ \ \ \bull cosa.cosb=\frac{1}{2}[cos(a-b)+cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.sinb=\frac{1}{2}[cos(a-b)-cos(a+b)]\\
& \ \ \ \ \ \bull sina.cosb=\frac{1}{2}[sin(a-b)+sin(a+b)]\\
\end{aligned}
>>> Xem thêm: Hàm Số Lượng Giác – Lý Thuyết Và Các Công Thức
Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác cơ bản
Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác hàm số hợp
Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác hàm số phù hợp u = u(x)
Bảng công thức vẹn toàn dung lượng giác hàm số phù hợp u = ax + b
>>> Xem thêm: Bảng Nguyên Hàm Và Công Thức Nguyên Hàm Đầy Đủ, Chi Tiết
6 dạng vẹn toàn dung lượng giác thông thường gặp gỡ và cách thức giải
Các Việc thăm dò nguyên dung lượng giác vô cùng nhiều mẫu mã và phức tạp. Mỗi dạng sẽ có được cơ hội biến hóa và phía giải không giống nhau. Vì vậy, Marathon Education vẫn tổ hợp 6 dạng toán thông thường gặp gỡ nhất và cách thức giải của từng dạng sẽ giúp đỡ những em nắm rõ những Việc dạng này.
Dạng 1
I=\int\frac{dx}{sin(x+a)(sin(x+b)}
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Dùng hệt nhau thức:}\\
&1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}=\frac{sin[(x+a)-(x+b)}{sin(a-b)}=\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(a-b)}\\
&\text{Từ bại suy ra:}\\
&I=\frac{1}{sin(a-b)}\int\frac{sin(x+a)cos(x+b)-cos(x+a)sin(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)}dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}\int \left[ \frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} \right]dx\\
&\ \ =\frac{1}{sin(a-b)}[ln|sin(x+b)|-ln|sin(x+a)|]+C
\end{aligned}
Lưu ý
Với những này, tao rất có thể tìm kiếm ra những vẹn toàn hàm:
\begin{aligned}
&\bull J=\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)} \text{ vị những sử dụng hệt nhau thức }1=\frac{sin(a-b)}{sin(a-b)}.\\
&\bull K=\int\frac{dx}{sin(x+a)cos(x+b)} \text{ vị những sử dụng hệt nhau thức }1=\frac{cos(a-b)}{cos(a-b)}.\\
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính vẹn toàn hàm sau đây:
I=\int \frac{dx}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&1=\frac{sin\frac{\pi}{6}}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{sin\left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=2\int\frac{\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)cosx-cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)sinx \right]}{sinx.sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx\\
&\ \ =2\int \left[\frac{cosx}{sinx}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right]dx\\
&\ \ =2\int\frac{d(sinx)}{sinx}-2\int\frac{d\left[sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&\ \ =2ln\left|\frac{sinx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} \right|+C
\end{aligned}
Dạng 2
I=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
& tan(x+a)tan(x+b)\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}\\
&=\frac{sin(x+a)sin(x+b)+cos(x+a)cos(x+b)}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&=\frac{cos(a-b)}{ cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Từ đó:}\\
&I=cos(a-b)\int\frac{dx}{cos(x+a)cos(x+b)}-1\\
&\text{Đến trên đây, tao gặp gỡ Việc thăm dò vẹn toàn dung lượng giác ở \textbf{Dạng 1}.}
\end{aligned}
Lưu ý
Với những này, tao rất có thể tính được những vẹn toàn hàm:
Xem thêm: Thông tư trong tiếng anh là gì?
\begin{aligned}
&\bull J=\int cot(x+a)cot(x+b)dx\\
&\bull K=\int tan(x+a)tan(x+b)dx
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính vẹn toàn hàm sau đây:
K=\int tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)dx
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&tan\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cot\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\\
&=\frac{sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)- cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{sin\left[ \left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right) \right]}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&=\frac{1}{2}.\frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\frac{1}{2}\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx+\int dx\\
&\ \ \ \ =\frac{1}{2}K_1+x+C\\
&\text{Đến trên đây, bằng phương pháp tính ở dạng 1, tao tính được:}\\
&K_1=\int \frac{1}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}dx=\frac{2}{\sqrt3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C\\
&\text{Suy ra:}\\
&K=\frac{\sqrt3}{3}ln\left| \frac{sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C
\end{aligned}
Dạng 3
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta có:}\\
&asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sinx+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cosx\right)\\
&\Rightarrow asinx+bcosx=\sqrt{a^2+b^2}sin(x+\alpha)\\
&\Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\int \frac{dx}{sin(x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} ln \left|tan\frac{x+\alpha}{2} \right|+C
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính vẹn toàn hàm sau:
I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{2dx}{\sqrt3 sinx+cosx}=\int\frac{dx}{\frac{\sqrt3}{2} sinx+\frac{1}{2}cosx}=\int \frac{dx}{sinxcos\frac{\pi}{6}+cosxsin\frac{\pi}{6}}\\
& \ \ =\int \frac{dx}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}{sin\left(x+\frac{\pi}{6} \right)}=ln\left| tan\frac{x+\frac{\pi}{6}}{2} \right|+C=ln\left| tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12} \right) \right|+C
\end{aligned}
Dạng 4
I=\int\frac{dx}{asinx+bcosx}
- Phương pháp giải:
\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}
- Ví dụ:
Tính vẹn toàn hàm sau đây:
K=\int\frac{dx}{sinx+tanx}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tan\frac{x}{2}=t \Rightarrow
\begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\
sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
tanx=\frac{2t}{1-t^2} \end{cases}\\
&\text{Từ đó:}\\
&K=\int \frac{\frac{2t}{1+t^2}}{\frac{2t}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}}=\frac{1}{2}\int \frac{1-t^2}{t}dt=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{t}-\frac{1}{2}\int tdt\\
&\ \ \ = \frac{1}{2}ln|t|-\frac{1}{4}t^2+C= \frac{1}{2}ln\left|tan\frac{x}{2}\right|-\frac{1}{4}tan^2\frac{x}{2}+C
\end{aligned}
Dạng 5
I=\int\frac{dx}{asin^2x+bsinxcosx+ccos^2x}
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&I=\int\frac{dx}{(atan^2x+btanx+c)cos^2x}\\
&\text{Đặt }tanx=t\Rightarrow \frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\text{Suy ra: }I=\int \frac{dt}{at^2+bt+c}
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính vẹn toàn hàm bên dưới đây:
J=\int \frac{dx}{sin^2x-2sinxcosx-2cos^2x}
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Đặt }tanx=t \Rightarrow\frac{dx}{cos^2x}=dt\\
&\Rightarrow J=\int\frac{dt}{t^2-2t-2}=\int \frac{d(t-1)}{(t-1)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{t-1-\sqrt3}{t-1+\sqrt3} \right|+C\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\sqrt3}ln\left|\frac{tanx-1-\sqrt3}{tanx-1+\sqrt3} \right|+C
\end{aligned}
Dạng 6
I=\int\frac{a_1sinx+b_1cosx}{a_2sinx+b_2cosx}dx
- Phương pháp giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta thăm dò A, B sao cho:}\\
&a_1sinx+b_1cosx=A(a_2sinx+b_2cosx)+B(a_2cosx-b_2sinx)
\end{aligned}
- Ví dụ:
Tính vẹn toàn hàm sau:
I=\int\frac{4sinx+3cosx}{sinx+2cosx}dx
- Bài giải:
\begin{aligned}
&\text{Ta thăm dò A, B sao cho:}\\
&4sinx +3cosx=A(sinx+2cosx)+B(cosx-2sinx)\\
&\Rightarrow 4sinx+3cosx=(A-2B)sinx+(2A+B)cosx \Rightarrow\begin{cases} A-2B=4\\
2A+B=3\end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} A=2\\B=-1\end{cases} \\
&\text{Từ đó:}\\
&I=\int\frac{2(sinx+2cosx)-(cosx-2sinx)}{sinx+2cosx}dx\\
& \ \ =2\int dx-\int \frac{d(sinx+2cosx)}{sinx+2cosx}\\
& \ \ =2x-ln|sinx+cos2x|+C
\end{aligned}
Bài tập dượt vẹn toàn dung lượng giác
1. Tính vẹn toàn hàm sau
I=\lmoustache sin^3x.cosx\space dx
\begin{aligned}
& Ta\space có:\space sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3x.d(sinx)\\
& Đặt\space u=sinx\space ta\space được:\\
& I=\lmoustache sin^3x.cosxdx=\lmoustache sin^3d(sinx)\\
& u^3du=\frac{u^4}{4}+c=\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}
2. Tính vẹn toàn hàm
\intop \frac{cos^5x}{sinx}dx
\begin{aligned}
& \intop \frac{cos^5x}{sinx}dx=\intop \frac{(1-sin^2x)^2dsinx}{sinx}=\intop \bigg( \frac{1}{sinx}-2sinx+sin^3x \bigg)dsinx\\
&ln|sinx|-sin^2x+\frac{sin^4x}{4}+C
\end{aligned}
3. Tính vẹn toàn hàm D
Xem thêm: Học tiếng Anh bằng phương pháp thiền
D=\intop \frac{dx}{3cosx+5sinx+3}
\begin{aligned}
&Đặt\space tan\frac{x}{2}=t\\
&\rArr \begin{cases}dx=\frac{2dt}{1+t^2}\\sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\
cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{cases}\\
& Từ\space đó\space, D=\intop \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3.\frac{1-t^2}{1+t^2}+5\frac{2t}{1+t^2}+3}
=\frac{2dt}{3-3t^2+10+3t+2t^2}=\intop\frac{2dt}{10t+6}\\
&=\frac{1}{5}\intop \frac{d(5t+3)}{5t+3}=\frac{1}{5}ln|5t+3|+C=\frac{1}{5}ln|5tan\frac{x}{2}=3|+C\\
\end{aligned}
Tham khảo ngay lập tức những khoá học tập online của Marathon Education
Trên đó là những công thức nguyên dung lượng giác và những dạng toán thông thường gặp gỡ. Các em rất có thể lưu về nhằm rất có thể triển khai xong bài bác tập dượt về chủ thể này nhanh gọn lẹ và hiệu suất cao rộng lớn.
Hãy contact ngay lập tức với Marathon và để được tư vấn nếu như những em mong muốn học online nâng lên kỹ năng và kiến thức nhé! Marathon Education chúc những em được điểm trên cao trong số bài bác đánh giá và kỳ đua chuẩn bị tới!
Bình luận