CÔNG THỨC CẤP SỐ NHÂN

ĐỊNH NGHĨA VỀ CẤP SỐ NHÂN

Cấp số nhân là một trong mặt hàng số (hữu hạn hoặc vô hạn). Trong số đó Tính từ lúc số hạng thứ hai, từng số hạn đều là tích của số hạng đứng ngay lập tức trước nó với số ko thay đổi q. Số q gọi là công bội của cấp cho số nhân

Công bội q

Gọi q là công bội của cấp cho số nhân tao đem công thức công bội

Bạn đang xem: CÔNG THỨC CẤP SỐ NHÂN

Ví dụ mang đến cấp cho số nhân (u_n) đem u₁ = 2 , u₂ = 4. Tính công bội q

Áp dụng công thức công bội q tao có

Nếu (u_n) là cấp cho số nhân với công bội q, tao đem u_n +1 = u_n.q, với từng số nguyên vẹn dương n.

Tính hóa học của cấp cho số nhân

Định lí 1: Nếu (un) là một trong cấp cho số nhân thì Tính từ lúc số hạng loại nhì, bình phương của từng số hạng (trừ số hạng cuối so với cấp cho số nhân hữu hạn) vì thế tích của nhì số hạng đứng kề nó vô mặt hàng, tức là

u²_k = u_k-1 . u_k+1

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân (u_n) với công bôi q > 0. thạo u₁ = 1, u₃ = 3. Hãy lần u₄

Giải:

Theo gắn lý 1 tao có

u₂² = u₁.u₃

u₃² = u₂.u₄

Từ (1) vì thế u₂ > 0 ( vì thế u₁ = 1 >0 và q > 0)

 Từ trên đây và (2) tao được

Số hạng tổng quát lác của cấp cho số nhân

Nếu một cấp cho số nhân đem số hạng đầu (u_n) và công bội q thì số hạng tổng quát lác (u_n) sẽ tiến hành tính vì thế công thức:

u_n = u₁. Q^n-1

Ví dụ: Cho cấp cho số nhân u_n với u₁ = 3, q = -1/2. Tìm u₇

Giải:

u_n = u₁.q^n-1 suy đi ra u₇ = u₁.q^7-1 = 3 . (-1/2)⁶ = (3/64)

Tìm tổng n số hạng thứ nhất của một cấp cho số nhân

Giả sử đem cấp cho số nhân (u_n) với công bội q. Với từng số nguyên vẹn dương n gọi s_n là tổng n số hạng thứ nhất của chính nó. Ta teo công thức sau

Nếu q = 1 thì cấp cho số nhân là s_n = n.u₁

Tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn

Cho cấp cho số nhân lùi vô hạn (u_n) đem công bội là q. Khi ê tao đem tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn s bằng:

Ví dụ minh họa

Cho tía số a, b, c lập trở nên một cấp cho số nhân. Chứng minh rằng (a² + b²) . (b² + c²) = (ab + bc)²

Ba số a, b, c lập trở nên một cấp cho số nhân tao được ac = b²

Khi: (a² + b²) . (b² + c²) = a²b² + a²c² + b⁴ + b²c² = a²b² + acb² + b²c² = a²b² + 2ab²c + b²c² = (ab + bc)²

Như vậy (a² + b²) . (b² + c²) = (ab + bc)²

Ví dụ 2: Tính tổng cấp cho số nhân  S = 2 + 6 + 18 + … + 13122

Giải:

Xét cấp cho số nhân (u_n) đem u₁ = 2 và công bội q = 3

Ta đem :

13122 = u_n = u_nq^n-1 = 2.3^n-1 => n = 9

Như vậy suy ra

Ví dụ 3: Tìm x nhằm tía số x – 2, x – 4, x + 2 lập trở nên một cấp cho số nhân

Giải:

Để 3 x – 2, x – 4, x + 2 lập trở nên một cấp cho số nhân ĐK tiếp tục là

( x – 4 )² = ( x – 2 ) ( x +2 ) => 8x = trăng tròn => x = 5/2

Vậy x = 5/2 là số cần thiết lần nhằm tía số x – 2, x – 4, x + 2 lập trở nên một cấp cho số nhân

BÀI TẬP RÈN LUYỆN VỀ CẤP SỐ NHÂN

Bài tập luyện 1: Chứng minh những mặt hàng số sau là những cấp cho số nhân

Giải:

Xét mặt hàng số

Lập tỉ số ( u_n+1 / u_n ) tao được :

Suy đi ra mặt hàng số bên trên là cấp cho số nhân đem công bội q = 2

Xét mặt hàng số

Lập tỉ số ( u_n+1 / u_n ) tao được :

Suy đi ra (u_n) là cấp cho số nhân đem công bội q = ½

Xét mặt hàng số

Lập tỉ số ( u_n+1 / u_n ) tao được :

Suy đi ra (u_n) là cấp cho số nhân đem công bội q =  -½

Bài tập luyện 2: Cho cấp cho số nhân (u_n) với công bội q

a) thạo u₁ = 2, u₆ = 486. Tìm q

Xem thêm: MV "Sau lưng anh có ai kìa" của Thiều Bảo Trâm lọt top trending thế giới

b) thạo q = 2/3, u₄ = 8/21. Tìm u₁

c) thạo u₁ = 3, q = -2. Hỏi số 192 là số hạng loại bao nhiêu ?

Giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁. q^n-1

a) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 ta có: u₆ = u1.q⁵ => q⁵ = u₆ / u₁ = 486 / 2 = 243 => q = 3

b) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 tao có: u₄ = u₁.q³ => u₁ = u₄ / q³ = 8/21 . (3/2)² = 9/7

c) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 tao có: 12 = 3. (-2)^n-1 => (-2)^n-1 = 64 => n-1 = 6 => n = 7 vì vậy 192 chính là số hạng loại 7

Bài tập luyện 3: Tìm những số hạng của cấp cho số nhân (u_n) đem 5 số hạng biết:

a) u₃ = 3 và u₅ = 27

b) u₄– u₂ = 25 và u₃ – u₁ = 50

Giải:

Áp dụng công thức u_n = u₁. q^n-1

a) Theo công thức u_n = u₁. q^n-1 tao có

u₃ = u₁.q² => 3 =  u₁.q² (1)

u₅ = u₁.q⁴ => 27 =  u₁.q⁴ (2)

Từ (1) và (2) suy ra : q² = (u₁.q⁴) / (u₁.q²) = 9 => q = 3 hoặc -3

Với q = 3 tao được u₁ = 1/3, tao đem cấp cho số nhân là 1/3, 1, 3, 9, 27

Với q = -3 tao được u₁ = 1/3, tao đem cấp cho số nhân là 1/3, -1, 3, -9, 27

b) Theo bài xích mang đến tao có :

Thay (2) vô (1) tao được 50.q = 25 => q = ½

Từ (2) suy đi ra u₁ = 50/(q² – 1) = 50 / (1/4 – 1) =  (-200 / 3)

Ta đem cấp cho số nhân :

Bài tập luyện 4 : Tìm cấp cho số nhân đem sáu số hạng, hiểu được tổng của 5 số hạng đầu là 31 và tổng của 5 số hạng sau là 62

Giải :

Tổng của 5 số hạng đầu là 31 như vậy

u₁ + u₂ + u₃ + u₄ + u₅ = 31

=> u₁q + u₂q + u₃q + u₄q + u₅q =31q

=> u₂ + u₃ + u₄ =+ u₅ + u₆ = 31q (1)

Tổng của 5 số hạng sau là 62 như vậy

u₂ + u₃ + u₄ =+ u₅ + u₆ = 62 (2)

Từ (1) và (2) tao suy đi ra 31q = 62 => q = 2

Vì S₅ = 31 = u₁(1-2⁵) / (1-2) => u₁ = 1

Vậy tao được cấp cho số nhân : 1, 2, 4, 8, 16, 32

Bài tập luyện 5: Tỉ lệ tăng số lượng dân sinh của tỉnh x là một,4%. thạo rằng số daancuar tỉnh lúc này là một,8 triệu con người, chất vấn với nút tăng lương bổng vì vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh này đó là từng nào ?

Giải:

Gọi số dân của tỉnh này đó là N

Sau 1 năm số dân tăng là một,4%N

Vậy số dân của tỉnh ê vô năm tiếp theo là n + 1,4%N = 101,4%N

Số dân tỉnh ê sau từng năm lập thnahf một cấp cho số nhân như sau

N ; (101,4/100)N ; (101,4/100)²N ; …

Giải sử N = 1,8 triệu con người thì sau 5 năm số dân của tỉnh là:

(101,4/100)⁵. 1,8 = 1,9 (triệu dân)

Và sau 10 năm tiếp tục là

(101,4/100)¹⁰. 1,8 = 2,1 (triệu dân)

Bài tập luyện 6: Cho cấp cho số nhân (u_n)

a) Viết năm số hạng đầu của cấp cho số;

b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp cho số;

c) Số 2/6561 là số hạng loại từng nào của cấp cho số ?

Giải:

Gọi q là công bội của cấp cho số. Theo fake thiết tao có:

a) Năm số hạng đầu của cấp cho số là:

u₁=2,u₂=2/3,u₃=2/9,u₄=2/27,u₅=2/81

b) Tổng 10 số hạng đầu của cấp cho số

c) tao có:

Bài tập luyện 7: Cho cấp cho số nhân (un) đem những số hạng không giống ko, lần u₁ biết:

Xem thêm: Giải Ngoại hạng Anh có bao nhiêu vòng đấu? Tổng cộng có bao nhiêu trận?

Giải: