Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba đường cao $A{A1},B{B1},C{C1}$ đồng quy tại $H.$ Biết rằng $AB = 2\sqrt 2,BC = 3$ và $B{B1}?

Cho tam giác nhọn $ABC$ sở hữu tía đàng cao $A{A1},B{B1},C{C1}$ đồng quy bên trên $H.$ lõi rằng $AB = 2\sqrt 2,BC = 3$ và $B{B1}?

Đáp án

Do \(A{B_1}H{C_1}\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {{B_1}HC} = \hat A \Rightarrow \tan A = \tan \widehat {{B_1}HC}\) \( = \dfrac{{{B_1}C}}{{H{B_1}}}\)
Mà \(\tan C = \dfrac{{B{B_1}}}{{{B_1}C}}.\) Suy đi ra \(\tan A.\tan C = \dfrac{{B{B_1}}}{{H{B_1}}} = 6 \Rightarrow \cot A.\cot C = \dfrac{1}{6}\) (1).
Lại sở hữu \(\sin A = \dfrac{{B{B_1}}}{{AB}},\sin C = \dfrac{{B{B_1}}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{\sin A}}{{\sin C}} = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{3}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow \dfrac{{{{\sin }^2}A}}{{{{\sin }^2}C}} = \dfrac{9}{8}\)
\( \Rightarrow 8.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}C}} = 9.\dfrac{1}{{{{\sin }^2}A}} \Rightarrow 8\left( {{{\cot }^2}A + 1} \right) = 9\left( {{{\cot }^2}C + 1} \right) \Rightarrow 8{\cot ^2}C = 9{\cot ^2}A + 1\) (2).
Từ (1) và (2) suy đi ra \(\cot A = \dfrac{1}{3},\cot C = \dfrac{1}{2}.\)
Lại sở hữu \({\cot ^2}A + 1 = \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow \dfrac{1}{{{{\sin }^2}A}} = \dfrac{{10}}{9} \Rightarrow \sin A = \dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\)
Do ê \(2R = \dfrac{{BC}}{{\sin A}} = \dfrac{3}{{\dfrac{{3\sqrt {10} }}{{10}}}} = \sqrt {10} \Rightarrow R = \dfrac{{\sqrt {10} }}{2}.\)